Polígonos

Un polígono es la región del plano limitada por tres o más segmentos.

-Elementos de un polígono

*Lados

Los lados de un polígono son los segmentos que lo limitan.

*Vértices

Los vérices de un polígono son los puntos donde concurren dos lados.

*Ángulos interiores de un polígono

Los ángulos interiores de un polígono están determinados por dos lados consecutivos.

*Suma de ángulos interiores de un polígono

n = número de lados de un polígono.

S = (n − 2) · 180°

-Diagonal

Las diagonales de un polígono son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

*Número de diagonales de un polígono

n = número de lados de un polígono.

Número de diagonales = n · (n − 3) : 2

-Clasificación de polígonos

Polígonos convexos

Todos sus ángulos menores que 180°.
Todas sus diagonales son interiores.

Polígonos cóncavos

Si un ángulo mide más de 180°.
Si una de sus diagonales es exterior.

Polígonos equiláteros

Todos sus lados son iguales.

Polígonos equiángulos

Todos sus ángulos son iguales.

Polígonos regulares

Tienen sus ángulos y sus lados iguales.

Polígonos irregulares

Tienen sus ángulos y lados desiguales.

-Nombres de los polígonos

Atendiendo al número de lados, los polígonos reciben los siguientes nombres:

Triángulos

Tienen 3 lados.

Cuadriláteros

Tienen 4 lados.

Pentágonos

Tienen 5 lados.

Hexágonos

Tienen 6 lados.

Heptágonos

Tienen 7 lados.

Octágonos

Tienen 8 lados.

Eneágono

Tiene los 9 lados.

Decágono

Tiene 10 lados.

Endecágono

Tiene 11 lados.

Dodecágono

Tiene 12 lados.

Tridecágono

Tienen 13 lados.

Tetradecágono

Tiene 14 lados.

Pentadecágono

Tiene 15 lados.

Hexadecágono

Tiene 16 lados.

Heptadecágono

Tiene 17 lados.

Octadecágono

Tiene 18 lados.

Eneadecágono

Tienen 19 lados.

Icoságono

Tiene 20 lados.

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ÁNGULOS Y DIAGONALES EN POLÍGONOS CONVEXOS.

PARTES DE UN POLÍGONO

De un polígono debes conocer los componentes siguientes:

Lados: son los segmentos que lo limitan.
Ángulos interiores: los que forman dos lados contiguos (color verde).
Vértices: los puntos donde coinciden dos lados.
Diagonales: las rectas que unen dos vértices que no sean consecutivos (color rojo).

CLASES DE POLÍGONOS:

Podemos clasificar a los polígonos teniendo en cuenta:

Sus lados:

Los polígonos según el número de lados que tienen reciben nombres diferentes.

Un polígono o figura cerrada necesita al menos tres lados porque con menos no puede cerrarse un área, una superficie.

Sus ángulos: Pueden ser cóncavos y convexos.
Recuerda que un ángulo convexo vale menos de 180º o dos rectos y un cóncavo más de 180º o dos rectos.Un polígono es convexo cuando sus ángulos valen menos de 180º.
Un polígono es cóncavo cuando tiene, por lo menos, un ángulo cóncavo o mayor que 180º.

Ejemplos:

3) Igualdad de lados y ángulos:

Cuando un polígono tiene sus LADOS Y ÁNGULOS iguales se llaman polígonos REGULARES.

Si los lados y ángulos no tienen la misma medida se llaman polígonos IRREGULARES.

Ejemplos:

REGULARES:

IRREGULARES:

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PERÍMETROS Y ÁREAS EN FIGURAS GEOMÉTRICAS.

Figuras geométricas

Figuras geométricas planas

Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

P = 2 · (a + b)

A = b · h

Trapecio

Triángulo

Polígono

El área se obtiene triangulando el polígono y sumando el área de dichos triángulos.

A = T₁ + T₂ + T₃ + T₄

Polígono regular

Circunferencia

Arco de circunferencia

Círculo

Sector circular

Corona circular

Trapecio circular

Segmento circular

Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB

Lúnula

Cuerpos geométricos

Tetraedro

Octaedro

Icosaedro

Dodecaedro

Cubo

Ortoedro

Prisma

Pirámide

Tronco de pirámide

Cilindro

Cono

Tronco de cono

Esfera

Huso y cuña esférica

Casquete esférico

Zona esférica

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LUGARES GEOMÉTRICOS EN LA CIRCUNFERENCIA.

Elementos de la circunferencia

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
Radio, El radio de una circunferencia es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro.El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre 2π.
Diámetro, El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre π;
Cuerda, La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de longitud máxima.
Recta secante, Es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos;
Recta tangente, Es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto;
Punto de Tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;
Arco, El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco.
Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Diámetros conjugados

Par de diámetros conjugados en una elipse

Dos diámetros de una sección cónica se denominan conjugados cuando toda cuerda paralela a uno de ellos es bisecada por el otro. Por ejemplo, dos diámetros de la circunferencia perpendiculares entre sí son mutuamente conjugados. En una elipse dos diámetros son conjugados si y sólo si la tangente a la elipse en el extremo de un diámetro es paralela a la tangente al segundo extremo.

Punto interior

Es un punto en el plano de la circunferencia, cuya distancia al centro de la circunferencia es menor que el radio. El conjunto de todos los puntos interiores se llama interior de la circunferencia. Respecto al círculo, claramente, se distinguen el interior, el exterior y la frontera, que es precisamente la respectiva circunferencia.

Posiciones relativas

La circunferencia y un punto

Un punto en el plano puede ser:

Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.

La circunferencia y la recta

Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:

Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.

Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia o tangente) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.

Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.

Segmento circular, es el conjunto de puntos de la región circular comprendida entre una cuerda y el arco correspondiente

Dos circunferencias

Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:

Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 1)

Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 2)

Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)

Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 4)

Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 5)

Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.

Ángulos en una circunferencia

Ángulos en la circunferencia. ~~>

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales ~~~>

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.

La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a la mayor parte del ángulo exterior que limita dicha base. (Véase: arco capaz.)

Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia

Longitud de la circunferencia

La longitud $\ell$ de una circunferencia es:

$\ell = \pi \cdot 2r$

donde $r \,$ es la longitud del radio.
Pues $\pi \,$ (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:

$\pi = \frac {\ell}{2r}$

Área del círculo delimitado por una circunferencia

Área del círculo = π × área del cuadrado sombreado. ~~~>

El área del círculo delimitado por la circunferencia es:

$A = \pi \cdot r^2$

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ÁNGULOS FUERA Y DENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA

Ángulo central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

Ángulo inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo semi-inscrito

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

Ángulo exterior

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

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VOLUMEN DE FIGURAS GEOMETRICAS

Volumen

El volumen es el espacio que ocupa un cuerpo.

Volumen del tetraedro

Volumen del cubo

Volumen del octaedro

Volumen del dodecaedro

Volumen del icosaedro

Volumen del prisma

Volumen del ortoedro

Volumen de la pirámide

Volumen del tronco de pirámide

Volumen del cilindro

Volumen del cono

Volumen del tronco de cono

Volumen de la esfera

Volumen de la semiesfera

Volumen de la cuña esférica

Volumen del casquete esférico

Volumen de la zona esférica

martes, 11 de marzo de 2014